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「微分と積分 微分」kindle版(科学雑誌Newton)

科学・テクノロジー

この電子書籍は,2016年5月に発行されたニュートン別冊『微分積分 増補改訂版』の一部を電子版にしたものです。


微分の基本的な概念を学ぶことができます。


微分積分を発明したニュートンの生涯、放物運動を上方向と横方向に分けることを考えたガリレオの話、デカルトフェルマーが作り出したとされる座標の話、微分法の鍵をにぎる接線の話、微分積分が飛行機を飛ばしている話など、微分に関する基礎知識と雑学を学ぶことができます。


感想


高校の時に接線の傾きを求める方法を習ったはずなのですが、完全に忘れていました(笑)。これを読んで思い出しました。



皆さんは接線の傾きの求め方を覚えていますか?


ニュートン微分法(流率法)って名前なんですよ。


ニュートン微分法で


y=x

y=x2

y=x3

y=x4


の式を解き続けていくと、ある法則が見つかります。


それは

y=xnの式を微分するとy'=nxn-1になるという法則です。




つまり

y=xの微分は1


y=x2微分は2x


y=x3微分は3x2


y=x4微分は4x3


になるということです。



微分=接線の傾きなんです。




y=xの接線の傾きを計算すると1になります。


y=x2の接線の傾きを計算すると2xになります。


y=x3の接線の傾きを計算すると3x2になります。


y=x4の接線の傾きを計算すると4x3になります。




では、y=x2の接線の傾きを計算してみます。



y=x2はこんなグラフです。


f:id:gowalk:20170302164601p:plain
引用http://keisan.casio.jp/




ここで点Aの接線の傾きを考えます。


f:id:gowalk:20170302164956p:plain



点Aは線上を動いているとします。


点Aが動いた時間をoとすると


点Aは(10,100)から点A'(10+op,100+oq)へ移動します。(ただし、ここで移動時間oは限りなく小さいものとする)


点A'(10+op,100+oq)の座標を式に代入します。


y=x2


(100+oq)=(10+op)2


100+oq=100+20op+o2p2


100-100+oq=20op+o2p2


oq=20op+o2p2


oで割ると


q=20p+op2


pで割ると


q/p=20+op


oは限りなく小さいので0になる


q/p=20


よって傾きは20になります。


皆さん覚えていましたか?


f:id:gowalk:20170302171531p:plain


では、今度は点A(a,a2)で考えてみます。


点Aは線上を動いているとします。


点Aが動いた時間をoとすると


点Aは(a,a2)から点A'(a+op,a2+oq)へ移動します。(ただし、ここで移動時間oは限りなく小さいものとする)


点A'(a+op,a2+oq)の座標を式に代入します。


y=x2


(a2+oq)=(a+op)2


a2+oq=a2+2aop+o2p2


a2-a2+oq=2aop+o2p2


oq=2aop+o2p2


oで割ると


q=2ap+op2


pで割ると


q/p=2a+op


oは限りなく小さいので0になる


q/p=2a


よって傾きは2aになります。



つまりy=x2微分は2aになります。



y=x2微分は2aであることが計算できました。




最後に


雑誌では、ほかのy=x3の接線の傾き、y=x4の接線の傾きの計算も書いてありました。さらにコラムで「東京マラソンで全員が最短時間でスタートを切る方法」というのも書いてありました。興味深かったです。


現在セールで250円です。


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